, тал как последнюю всегда можно центрировать и получить случайную функцию с . Таким образом, единственным условием стационарности является
Существуют случайные процессы, для которых доказана эргодическая теорема: любая статистическая характеристика, полученная усреднением по множеству с вероятностью Требование постоянства значения математического ожидания для стационарной случайной функции несущественно, сколь угодно близкой к единице, совпадает с характеристикой, полученной усреднением по времени.
Иногда данное положение считают очевидным, даже если оно не доказано. Тогда говорят об эргодической гипотезе, которая применяется для многих стационарных процессов. На практике эргодическая гипотеза позволяет получать характеристики случайного процесса всего лишь при одной реализации достаточной продолжительности.
Для эргодических случайных процессов математическое ожидание тх,·корреляционная функция Rх(τ) и дисперсия Dх определяются выражениями
;
;
.
Для стационарных случайных функций вводится еще одно понятие — спектральная плотность, характеризующая спектральный состав функции. Спектральная плотность есть Фурье-изображение корреляционной функции:
.
Соответственно обратное преобразование Фурье дает возможность найти корреляционную функцию по спектральной плотности:
|
|
. |
(1) |
Дисперсия случайной функции связана со спектральной плотностью выражением
|
|
. |
(2) |
Для двух случайных процессов X(t) и Y(t), как и для корреляционных функций, вводится понятие взаимной спектральной плотности:
;
.
Преобразование стационарного случайного сигнала линейной динамической системой
Пусть на линейную систему, имеющую передаточную функцию W(s), действует стационарный случайный сигнал X(t) с математическим ожиданием mx(t) и корреляционной функцией Rx(τ). На выходе системы сигнал Y(t) будет также случайным с математическим ожиданием my(t) и корреляционной функцией в установившемся режиме Ry(τ) Поскольку mx(t) — неслучайная функция времени, то my(t) находим обычным способом для неслучайных сигналов:
,
где
;
.
Определим корреляционную
Загрузка...
