Содержательные представления об устойчивости, выгодности и справедливости многообразны. Соответственно могут быть рассмотрены различные подходы к решению игр, в основе которых лежат те или иные представления об оптимальности. Выше мы рассмотрели в качестве оптимальных равновесные ситуации, трактуя их как в определенном смысле устойчивые. Возникает, однако, вопрос: насколько хороши равновесные ситуации в других отношениях, прежде всего в отношении выигрышей игроков? Рассмотрим другой подход к решению игр, рассматривая в качестве критерия принятия решения оптимальность по Парето.

Множество Парето

Рассмотрим на плоскости множество (рис. 1).

Каждая точка этого множества обладает одним из следующих свойств:

а) все точки, лежащие в некоторой окрестности рассматриваемой точки, принадлежат (в этом случае точка называется внутренней точкой множества);

б) в любой окрестности рассматриваемой точки расположены как точки, принадлежащие , так и точки, не принадлежащие ему (в этом случае точка называется граничной точкой множества);

в) существует окрестность рассматриваемой точки, в которой не лежит ни одна точка множества (в этом случае точка называется изолированной точкой множества).

Множество всех граничных точек множества называется его границей.

Граничные точки множества могут, как принадлежать, так и не принадлежать самому множеству. Ограничимся рассмотрением таких множеств, которые, во-первых, содержат все свои граничные точки и, во-вторых, не имеют изолированных точек, т.е. все их точки либо внутренние, либо граничные.

Пусть – произвольная точка множества , внутренняя или граничная. И – ее координаты. Поставим следующий вопрос: можно ли, оставаясь во множестве , переместиться из точки в близкую точку так, чтобы при этом увеличить обе ее координаты? Если – внутренняя точка, то это, бесспорно, возможно. Если же – граничная точка, то такое возможно не всегда (рис. 2).

Из точек , , это сделать можно, но уже из точек отрезка можно переместиться, увеличивая лишь координату (координата при этом либо остается