изучение возможностей пакета «MATLAB» для формирования

В задачах компьютерной медицинской визуализации можно выделить три взаимосвязанных области, в которых использование преобразования Фурье является одной из важнейших процедур вычислительного процесса. Это обработка исходных измерительных данных, собственно реализация реконструкционного алгоритма, а также анализ и фильтрация полученного изображения. Вопросы применения БПФ на этапе обработки исходных измерительных данных исследовались в предыдущих лабораторных работах. В рамках настоящего задания мы сосредоточим свое внимание на применении преобразования Фурье для анализа изображений.

Целями настоящего работы являются:

— изучение возможностей пакета «MATLAB» для формирования и представления изображений;

— освоение процедуры fft2 для вычисления двумерного преобразования Фурье сформированных изображений;

— сравнительный анализ процедур аналитического и численного расчета пространственных спектров простейших изображений.

1. Основы

1.2. Двумерное интегральное преобразование Фурье

Фурье-преобразование или фурье-образ (иначе пространственный спектр) функции двух независимых переменных (изображения, дискретизованного некоторым образом по уровням яркости) будем определять в виде

. (1)

Операция обращения

(2)

соответствует обратному двумерному преобразованию Фурье. — исходная функция, — ее двумерный фурье-образ. Фурье-образ и его обращение вновь определены в предположении, что оба вышеприведенных интеграла существуют.

1.3. Функции с разделяющимися переменными

Как известно, функция двух независимых переменных называется функцией с разделяющимися переменными в определенной системе координат, если ее можно записать в виде произведения двух функций, каждая из которых зависит только от одной независимой переменной, в частности в декартовой системе координат (x, y):

, (3)

в полярной системе координат :

. (4)

Именно этот класс функций мы будем использовать в данной работе для изучения пространственных спектров простейших изображений.

1.4. Пространственное преобразование Фурье функций с разделяющимися переменными

1.4.1. Фурье-образ в декартовых координатах

Функции с разделяющимися переменными в прямоугольной системе координат имеет особенно простое свойство: ее двумерный фурье-образ можно представить в виде произведения одномерных фурье-образов:

. (5)

Процесс двумерного преобразования при этом упрощается и принимает вид последовательности более привычных одномерных действий.

1.4.2. Преобразование Фурье-Бесселя

Наиболее простой класс функций с разделяющимися переменными в полярной системе координат образуют функции, обладающие осевой симметрией. Говорят, что функция обладает осевой симметрией, если ее можно записать как функцию только радиуса , т.е.

(6)

Учитывая, что и , выражения для фурье-образа в координатах и будет иметь вид

, (7)

в котором — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Выражение (7) называется преобразованием Фурье-Бесселя, или, иначе, преобразованием Ханкеля нулевого порядка.

1.5. Дискретизация двумерной функции (изображения)

Как нам уже известно из предыдущих работ использование алгоритма БПФ для вычисления спектра функции накладывает требования на размерность (количество дискретных отсчетов) данных и на интервал дискретизации. Кроме того, конкретная реализация БПФ (в том числе и в MATLAB) предполагает переорганизацию исходных данных для достижения их периодичности. Данная процедура получила название двоично-инверсионного кодирования данных. На практике нет необходимости каждый раз заниматься таким переопределением. В пакете MATLAB существует специальная функция fftshift , которая и осуществляет двоично-инверсионную перестановку.

Единственное требование здесь состоит в правильном задании исходного массива и выборе центрального элемента изображения.

Пусть некоторое изображение определено на квадрате со сторонами и дискретизовано с интервалом , где — количество точек дискретизации вдоль каждой из осей. Тогда, центральный элемент изображения, имеющий координаты (0,0), следует поместить в элемент с номером . Это, в свою очередь, означает, что координаты произвольной точки изображения, имеют значения, где и — счетные номера точки вдоль осей x и y, соответственно.

Особое внимание следует уделить тому обстоятельству, что пространственный спектр изображения при этом оказывается дискретизованным с интервалом , причем нулевой элемент также имеет номер .