Чтобы ввести понятие системы с дискретным временем, предположим, что ПИ-регулятор

В этой главе мы рассмотрим три проблемы. Сначала мы введем понятие систем с диск­ретным временем. До сих пор в этой книге мы имели дело с системами, работающими в непрерывном времени, или с аналоговыми системами. Эти системы описываются диффе­ренциальными уравнениями. Мы рассмотрели только такие системы, модели которых суть линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. В этой главе мы рассмотрим системы с дискретным временем, которые описываются разно­стными уравнениями. Очень часто такие системы называют просто дискретными систе­мами. Основным математическим аппаратом, используемым при анализе линейных стационарных аналоговых (непрерывных) систем, является преобразование Лапласа; для линейных стационарных дискретных систем мы будем пользоваться z-преобразованием. Вторым важным вопросом данной главы является z-преобразование, его теоремы и свой­ства. В заключение будут рассмотрены модели в переменных состояния для дискретных систем.

Как было показано выше, модель линейной стационарной непрерывной системы можно представить либо в виде дифференциального уравнения n-го порядка, либо в виде системы из п дифференциальных уравнений первого порядка, либо (если воспользоваться преобразованием Лапласа) в виде передаточной функции «-го порядка. Аналогичным об­разом модель линейной стационарной дискретной системы можно представить либо в виде разностного уравнения n-го порядка, либо в виде системы из п разностных уравне­ний первого порядка, либо (если применить z-преобразование) в виде передаточной функ­ции n-го порядка.

11.1. Системы с дискретным временем

Чтобы ввести понятие системы с дискретным временем, предположим, что ПИ-регулятор в замкнутой системе управления должен быть реализован с помощью цифрового компьюте­ра. Компьютер может выполнять операции сложения, умножения и численного интегриро­вания; следовательно, он вполне пригоден для реализации ПИ-регулятора. В действитель­ности, с помощью цифрового компьютера можно реализовать любой из типов регулято­ров, рассмотренных в данной книге; эти регуляторы описываются дифференциальными уравнениями, но подобные уравнения могут быть решены и численно.

Цифровая система управления, о которой только что шла речь, изображена на рис. 11.1. Цифровой компьютер в этой системе должен выполнять функцию корректиру­ющего устройства (регулятора). Входным интерфейсом компьютера является анало­го-цифровой преобразователь (АЦП) [1]; он необходим для преобразования непрерывно­го сигнала ошибки в двоичный код, который затем обрабатывается компьютером. Выход­ным интерфейсом компьютера является цифроаналоговый преобразователь (ЦАП),

Рис 11.1 Цифровая система управления

который преобразует двоичный код, выводимый из компьютера, в напряжение, используемое для управления объектом.

Для облегчения анализа и синтеза мы будем считать, что компьютер выполняет толь­ко линейные операции, а хранящиеся в его памяти константы не зависят от времени. Ина­че говоря, мы не будем рассматривать нелинейные регуляторы или регуляторы с перемен­ными параметрами. Напомним, что ранее мы ограничились непрерывными регуляторами, которые тоже были линейными и параметры которых не зависели от времени. Поскольку компьютер на рис. 11.1 является цифровым устройством, работающим в реальном време­ни, он может принимать информацию только в дискретные моменты времени. Предполо­жим, что эти моменты отстоят друг от друга на постоянную величину T секунд, начинаясь с . Тогда сигнал, поступающий в компьютер, можно представить в виде числовой по­следовательности которую мы обозначим как . Очень часто па­раметр Т опускают, и тогда обозначение превращается в .

Мы будем считать, что время, затрачиваемое компьютером на выполнение любых операций с входным сигналом, является ничтожно малым и им можно пренебречь (это до­пущение часто вполне оправдано). Таким образом, мы считаем, что если в момент t = 0 на вход компьютера поступил сигнал, то будучи обработанным, он вызовет появление сиг­нала на выходе компьютера также в момент , входной сигнал в момент обусловит появление выходного сигнала также в момент , и т.д. Предположим, что при вход компьютера равен , а выход — . Так как операция, выполняемая компьютером, должна быть линейной и независимой от времени, то мы можем выразить в виде:

где . Если зависит либо от , либо от времени, то это уравнение не будет, соот­ветственно, линейным или стационарным. В компьютере можно запомнить значения и . Тогда может представлять собой функцию , например,

Аналогично, может иметь вид:

Эти уравнения называются разностными уравнениями. Общий вид линейного разностно­го уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (где параметр Топущен) таков:

Ниже мы покажем, что если непрерывный объект на рис. 11.1 также является линейным и стационарным, то всю систему можно смоделировать в виде разностного уравнения (11-4), но, конечно, более высокого порядка, чем регулятор. Теперь сравним (11-4) с линейным